В современной математике решение многих задач (в том числе носящих прикладной характер) сводится к вопросу о том, можно ли некоторую функцию разложить в ряд по имеющейся системе (как правило, по системе собственных функций некоторого оператора). Или, в иной постановке: образует ли рассматриваемая система функций базис в данном пространстве? До недавнего времени в задачах такого сорта возникали в основном ортогональные системы функций. Интенсивно развивалась теория ортогональных рядов (частным случаем которых являются тригонометрические ряды Фурье) и ортогональных базисов. Однако в последние десятилетия все чаще приходится сталкиваться с физическими задачами, приводящими к рассмотрению неортогональных рядов (и, соответственно, неортогональных базисов). Теория таких рядов до сих пор развита весьма слабо из-за ряда трудностей принципиального характера. В статье сделана попытка популярно очертить основные отличия между теориями ортогональных и биортогональных базисов, изложены простейшие сведения из той и другой теории.
1. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Ч. 2. М., 1973.
2. Колмогоров А. Н., Фомин С. М. Элементы теории функций и функционального анализа. М., 1968.
3. Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. М., 1958.
4. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М., 1965.
5. Бабенко К. И. О сопряженных функциях. ДАН. Т. 62 (1948). № 2. С. 157-160.
6. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М., 1969.
7. Титчмарш Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Т. 2. М., 1961.
8. Моисеев Е. И. Асимптотическая формула среднего значения для регулярного решения дифференциального уравнения // Дифференциальные уравнения. 1980. Т. 16. № 5. С. 827-844.
9. Ильин В. А. О безусловной базисности на замкнутом интервале систем собственных и присоединенных функций дифференциального оператора второго порядка // ДАН СССР. 1983. Т. 273. № 5. С. 1048-1053.
10. Керимов Н. Б. Необходимые условия базисности в системы собственных и присоединенных функций дифференциального оператора второго порядка // ДАН СССР. 1988. Т. 299. № 4. С. 809-811.
11. Керимов Н. Б. К вопросу о необходимых условиях базисности // Дифференциальные уравнения. 1990. Т. 26. № 6. С. 943-953.
12. Будаев В. Д. Безусловная базисность систем корневых функций обыкновенных дифференциальных операторов: Дис. … д-ра физ-мат. наук. М., 1993.
13. Малов А. А. Достаточные условия выполнения неравенства типа Гильберта по системе корневых функций обыкновенного дифференциального оператора второго порядка // Дифференциальные уравнения. 1994. Т. 30. № 2. C. 197-203.
14. Будаев В. Д. О неравенствах Гильберта и Бесселя для некоторых систем синусов, косинусов и экспонент // Дифференциальные уравнения. 1997. Т. 33. № 1. С. 19-24.
15. Paley R. E. A. C., Wiener N. Fourier Transforms in the Complex Domain. N. Y., 1934.
16. Кадец М. И. Точное значение постоянной Палея-Винера // Докл. АН СССР. 1964. Т.155. № 6. C.1253-1254.
