Определение 1. Пусть ф, er : N -> N - биекции (перестановки). Пусть для кажоо догоряда в произвольном банаховом пространстве 2 хь сходящегося к 0, такого, оо оо что 2 хф(к) = х, выполнено: 2 хо-(к) = 2 • х. Тогда будем писать: er = 2 ■ ф. к=\ к=\ В работе [1] показано, что перестановки л ab, где А, В - бесконечные подмножества N с бесконечными дополнениями, лав(А) = В, лав№ \ А) = (N \ А) с сохранением порядка, допускают умножение на 2 (удвоение), причем если ф = л ab, ТО (Т = 2 • ф = Л"С5- Из доказательства теоремы Римана следует, что для любого условно сходящеоо гося числового ряда 2 ак и Для любого ögR найдутся множества А, 5 с N такие, оо что 2 апАв{к) = а (множество В состоит из номеров положительных членов ряда). В к=\ этом смысле можно считать семейство перестановок {лab, А, В с N} достаточным для числовых рядов. Другие достаточные семейства построены в работе [2]. В частности, показано, что перестановки порядка 2 (такие, что ф о ф = I) также образуют достаточное семейство перестановок для числовых рядов. В статье [3] рассмотрены специальные перестановки порядка 2, которые меняют сумму ряда Лейбница. Эти перестановки не содержатся в семействе {лab}, поэтому интересно узнать, допускают ли они умножение на целые числа, либо их удвоение возможно с некоторыми ограничениями. Пример 1. Рассмотрим одну из перестановок порядка 2 из работы [3]: 6^-^ + 4 если п = 1 mod 2, ф(п) = < 2^-^ + 1 если п = 4 mod 6, (1) п в остальных случаях. оо Для этой перестановки введем обозначения сумм элементов ряда 2 хкк=\ п п п Wn = 2_jX2k-l,Vn = 2_jX6k-2,U2n = 2_j(x6k-4+x6k)-k=\ k=\ k=\ Тогда 6и 6и YjXk = W3n + Vn + U2n> XX^W = wn + Ъп + U2n- (2) k=\ k=\ Рассмотрим ряд, сумму которого меняет перестановка ф. В статье [3] показано, что ряд Лейбница обладает таким свойством. Пусть в произвольном банаховом 224 пространстве 2 *к = О, 2 *</>(&) = х ^ 0. Тогда согласно (2) к=\ к=\ lim (ТУ3и + Vn + U2n) = 0, Hm (Wn + V3n + U2n) = x. (3) П->со n->co Можно ли, используя пределы (3), построить перестановку, удваивающую (в смысле определения 1) перестановку ф! Рассмотрим частные случаи: 1 случай. U2n = 0 Уп е N. Тогда из (3) следует: lim (W3n + Уп) = 0, Hm (W3n + Удп) = х, lim (V9n - Уп) = х, lim (У81в - У9и) = х. П^>оо п^>оо п^>оо п^>оо Поэтому lim ((У81в - У9и) + (У9и - Уп) + (W3n + Ув)) = 2х, П->со lim (У81в + W3n) = 2х. (4) П->со 2 случай. Уп = 0 Уп е N. Аналогичными рассуждениями получаем: lim ((£/18в - U6n) + (U6n - U2n) + (W3n + U2n)) = 2x, П->со lim (UUn + W3n) = 2x. (5) П->со 3 случай. Wn = 0 Уп е N. Рассуждаем аналогично и приходим к равенству lim (У9и + £/2и) = 2х. (6) Из (6) следует: lim (y8i„ + t/i8n) = 2х. (7) Теперь мы можем построить перестановку в общем случае, т.к. (4), (5) и (7) хорошо сочетаются друг с другом. Действительно, во всех трех случаях lim (У81в + иш + W3n) = 2х. (8) П->со ЪАп Рассмотрим перестановку <х : N -> N такую, что 2 *o-()t) = У Tin + Ußn + Wn. к=\ Проверим, верно ли равенство сг = 20? Заметим, что: Упп + U6n + Wn = (V21n - У3п + U6n -U2n) + (V3n + U2n + Wn). (9) Из (3) следует: lim (У9и - Уп + U6n - U2n) = х. Если дополнительно потребовать, чтобы существовал предел lim (У9и - Ув) = vo g R, (10) П->со 225 34и то из (9) получим: lim 2 Xo-(k) = 2х, откуда с учетом стремления общего члена П^оо к=1 оо сходящегося ряда к нулю вытекает: 2 Хо-(к) = 2х. к=\ Условие (10) можно заменить на любое из условий: lim (V3n - Vn) = v, lim (U6n - U2n) = и или lim (W3n - Wn) = w, v, u, w e R. (11) П->со n->co n->co Условия (11) ограничивают возможность умножения перестановки ф на число 2. В общем случае справедлив следующий результат. Теорема 1. Пусть Е - банахово пространство, Хк е Е У к е N, ф : N -> N, ( (п-Ь) ф{п) = сК ' + d если п = b mod a, а^п~ ' + b еслип = а mode, п в остальных случаях, где b < a, d < с, с > a, d - b не делится на НОД(а, с). Тогда существует оо оо перестановка er : N -> N такая, что для каждого ряда 2 *к = 0, 2 *</>(&) = х, для к=\ к=\ СП оо которого существует предел lim 2 xc<k-\)+d е Е, выполнено: 2 хаа) = 2х. п^°° к=ап+\ к=\ Доказательство. Рассуждая аналогично примеру, определим п п асп wn = 2_jXa(k-i)+b,vn = 2_jXC(k-i)+d, U(ac-a-C)n = 2_jXk - vn - wn. k=\ k=\ k=\ oo oo Обозначим / = ас - а - с. Так как 2 Хк = 0, 2 *</>(&) = х, имеем: к=\ к=\ lim (Uin + Van + Wcn) = 0, lim (Uln + Vcn + Wan) = x. (12) k^>oo k^>oo Рассматривая случаи 1-3 (обнуление одной из последовательностей (Uin), (Vn), (Wn)), получим: lim (Uac2ln + Vc4n + Wa3cn) = 2x. k->oo oo Найдем более общие условия на члены ряда 2 Хк, при которых к=\ lim (Uacin + Vc3n + Wa3n) = 2x. k->oo 226 Имеем: Uacln + Усъп + Wa3n = (Ua2ln + Va2cn + ^й3и) + (^ас/и ~ Uацп + Vсъп - Va2cn). (13) Выражение (Ua2in+Va2cn+Wa3n) стремится кх в соответстии со вторым пределом в (12). Из равенств (12) следует также: lim (Uacin - Uаг\п + Vc2an - Уаъп) = х, поэтому выражение во вторых скобках в (13) стремится к х, если существует предел lim (Vc2n - Va2n) e E. (14) к->со Если выполнено (14), то согласно (13) lim (Uacin + Усъп + Wa3n) = 2х и ряд к^оо оо 2 Хк после соответсвующай перестановки сходится к 2х (так как общий член ряда к=\ стремится к 0). Условие (14) можно получить так: Vc2n - Va2n = (Vc2n ~ Vcan) + {Уcan ~ Va2n), поэтому достаточно потребовать существование предела lim (Vcn - Van) e E, (15) k^oo en что в соответсвии с определением Vn записывается так: lim 2 xc(k-i)+d e E. п^°° к=ап+\ Теорема доказана. Замечание 1. Ясно, что в теореме 1 требование существования предела (15) можно заменить на lim (Wcn - Wan) е Е или на lim (Ucin - Uain) G E. k^oo k^oo