Для поиска точных решений нелинейных дифференциальных уравнений, которые не разрешаются классическими методами, существует несколько подходов. Симметрийный анализ. В этом случае применяется аппарат теории С. Ли для поиска непрерывных точечных преобразований и уравнения разрешаются из инвариантов допускаемых групп или операторов. Если в преобразованиях задействованы и производные, то ищутся непрерывные преобразования Беклунда. На основании теорем С. Ли, строятся определяющие уравнения и системы для поиска координат операторов таких преобразований. При этом уравнения не изменяются, а решения переходят в другие решения. См., например, [1]. Дискретно-групповой анализ. В этом случае применяются подходы, развиваемые школой В. Ф. Зайцева, для поиска дискретных групп допускаемых преобразований параметров классов уравнений и, соответственно, непрерывных допускаемых преобразований уравнений внутри рассматриваемого класса. Аналогично непрерыв- 201 ному анализу, строятся определяющие уравнения и системы для поиска преобразований. При этом уравнения не выходят из рассматриваемого класса, а решения всех уравнений выбранного класса порождаются решениями базового априорно разрешимого уравнения. См., например, [2]. Метод дифференциальных «пазлов». Метод позволяет находить некоторые подклассы выбранного класса ОДУ. Общие решения подклассов могут быть представлены в терминах заданных классов функций (полиномов, тригонометрических, эллиптических или некоторых специальных функций). Дифференциальным «паз-лом» исходного уравнения называется подмножество, замкнутое на многообразии решений ОДУ. При этом условие замкнутости представляет собой некоторую систему алгебраических уравнений на параметры, и параметры уравнения, определяющие элемент исходного класса ОДУ, для которого решение может быть найдено этим методом. При данном методе поиска общего решения не нужно понижать порядок уравнения и интегрировать промежуточные уравнения, так как решение уравнения находится «напрямую». Данный метод получил широкое развитие в работах В. Ф. Зайцева и Л. В. Линчук [1, 2], а также в других работах [1, 3, 4]. Множество элементов «пазла» это сужение дифференциальной алгебры базисных функций на решениях дифференциального уравнения. В классической теории С. Ли уравнения разрешаются из инвариантов допускаемых групп или операторов. В рассматриваемом методе решения уравнений строятся из заданных базисных структурных элементов пазла, которые инвариантны относительно дискретной группы эквивалентности на изучаемом классе уравнений. См., например, [7] в этом сборнике. Методы структурного синтеза. Задача структурного синтеза сводится к построению дифференциального уравнения с априорными свойствами по заданным порождающим элементам дифференциального поля (паре функций х = <р{т) и у = (Д(т) определенной структуры), а задача инвариантного анализа ставится как задача восстановления многообразия F(t,x, у, Cj) (j = 1,..., п) по дифференциальному уравнению в заданном классе функций с симметрийными свойствами. Пример 1 [8]. Пусть задана система дифференциальных уравнений . Х\ t In t + Х\ + Х2 1 X\+X2 + t thlt ' m . Х\ t(x\ +Х2) +Х\Х2 - Х\ In? Y = _ _ _ 2 Х\ +Х2 + t Xi In? Для данной системы порождающее поле Q [t, In t]. Запишем соответствующее уравнение формального многообразия в виде: 202 9 9 9 9 a\xl + a2X2 + «3? + аДп t + a^xit + a^x\ In t+ +a-]X\X2 + a^xtf + щх^ In? + awtlnt + a\\C\X\ + auC\X2+ +a\?,C\t + а\\С\ In t + a\$C2X\ + «16C2X2 + a\-jC2t + «18^2 In t+ +«19X1 + «20-^2 + «21? + «22 In? = 0. Продифференцируем (2) и подставим значения производных из исходной системы (1). Тогда получим нелинейное алгебраическое уравнение, разрешимость которого является необходимым и достаточным условием разрешимости исходной системы (1) в элементарных функциях. В данном случае находятся два набора коэффициентов «18=1, «19=1, «20 = 1; «11 = 1, «21 = 1, «22=1- Остальные at = 0. Окончательно, решения системы (1) будут иметь вид t - С2 In t xi = (1-2( Х2 = 1-е,' (1 - 2Ci)t + CiC2\nt 1-Ci Метод дифференциальных связей [9]. Основная идея метода состоит в том, что точные решения сложного (неинтегрируемого) уравнения ищутся путем совместного анализа этого уравнения и более простого вспомогательного (обычно интегрируемого) уравнения, называемого дифференциальной связью. Порядок дифференциальной связи совпадает с порядком входящей в нее старшей производной. Обычно порядок дифференциальной связи меньше, чем порядок исследуемого уравнения. Простейшими и наиболее часто используемыми являются дифференциальные связи первого порядка. Уравнение и дифференциальная связь должны содержать набор свободных параметров (иногда произвольных функций), значения которых выбираются так, чтобы уравнение и связь были совместными. После анализа на совместность все решения, полученные при интегрировании дифференциальной связи, будут одновременно и решениями исходного уравнения. Рассматриваемый метод позволяет находить частные решения исходного уравнения при некоторых значениях определяющих параметров. Пример 2. Рассмотрим уравнение седьмого порядка с кубической нелинейностью У{1) = у'РъЫ = У(ау3 + by2 + cy + d), (3) где Рз [у] - полином 3-й степени. Добавим к (3) несколько нелинейных дифференциальных связей первого, второго, третьего и пятого порядков, структура решений которых известна [7]: 203 (y'Y = Ауъ + Ciy + C2, (4) /' = ari)>2+jSb (5) У" = а1Уу', (6) y^ = y'(ay2+ß). (7) Последовательно дифференцируя (7), находим производные y^=y"(ay2+ß)+2ay(yf, (8) у<7> = y'"(ay2+ß) + бауу'у" + 2ay(yf. (9) Подставив (8) и (9), с учетом (4)-(6), в (3), получим кубическое уравнение относительно искомой функции ау3 + by2 + cy + d = а\у(ау2 + ß) + 6ау(а\у2 + ß\) + 2а(4у3 + С\у + Сг). которое будет тождественно удовлетворяться, если положить а = аа\ + 6аа\ + Sa, b = 0, с = ßa\ + 6aß\ + 2аС\, d = 2аС2. При известных ранее коэффициентах дифференциальных связей (4)-(7) а = 360, ß = -18g2*, C\ = -g2, Сг = -g3', ос\ = 6, ß\ = -|^г; «1 = 12, константы уравнения (3) получатся через них следующим образом: а = 20160, b = 0, с = -2016g2, d = -720#з- В силу того, что для дифференциальной связи (4) решение можно выразить через функцию Вейерштрасса р = р(т, g2, #з)> для полученного нелинейного дифференциального уравнения седьмого порядка точное решение также будет выражаться через функцию Вейерштрасса. Известно [10] также, а иногда для непосредственного приложения более удобно, что можно использовать непосредственное представление эллиптической функции Вейерштрасса через эллиптические функции Якоби.