1. Постановка задачи. Решения уравнений конвективного движения в приближении Обербека - Бус-синеска можно искать в виде [1] u = (u(x,y,t),v(x,y,t),w(x,y,t)), (1) z2 р = -pgßA- + q(x,y,t),e = -Az + T(x,y,t), где u=(u(x,y,z,t),v(x,y,z,t),w(x,y,z,t)) - вектор скорости, 9(x,y,z,t) - температура, р(х, у, z, t) - модифицированное давление, постоянная А - температурный градиент, а р, у, g,ß, x - заданные положительные физические постоянные жидкой среды. При предположении и = v = О, q = q{t) функции w и Т удовлетворяют системе 197 параболических уравнений wt = v(wxx + wyy)+pgßT, (2) Tt = Aw+x(Txx + Tyy). Уравнения (2) выполняются в некоторой области Q на плоскости переменных х,у с границей Г. Здесь рассмотрим краевые условия на Г первого рода w|r = 0, Г|г = 0, (3) и начальные условия w\t=o = wo(x, у), T\t=o = Tq(x, у). (4) Для гладкого решения также нужно потребовать выполнения условий согласования wq(x, у) = О и 7о(х, у) = О при х, у е Г. В безразмерных переменных первая начально-краевая задача (2)-(4) примет вид 1 wt = -{wxx + wyy) + GT, (5) Tt = Тхх + ТуУ + w, (х, у) е Q; w\t=Q = wo(x,y), T\t=Q = To(x,y); w\r = 0, Г|г = О, где Р = х/у ~ число Прандтля, G = pgAd4ß/x2 - число Грасгофа. Ниже задача (5) и будет предметом нашего исследования. 2. Априорная оценка. Для решения задачи (5) в силу граничных условий и неравенства Фридрихса [2] справедлива априорная оценка I (w2 + T2)dxdy < eyt Г (w2Q + T2)dxdy, (6) где у = \G + 1| - 2a, а = С-1 min(l,/3_1), С - константа, входящая в неравенство Фридрихса. Здесь имеем два случая: I) Если G е {-2а - 1,2а - 1), то у < 0; II) Если G е (-со, -2а - 1] U [2а - 1,+со), то у > 0. Из (I), (II) следует единственность решения начально-краевой задачи (5) на конечном интервале времени (0, to), а в случае I) дополнительно и затухание решения в норме L2(Q) с ростом времени по экспоненте. 198 3. Решение задачи в случае круглого сечения. Рассмотрим задачу (5) в произвольной области £1 в виде круга с границей Г £1= {г,ф \г < \,ф е [0,2тг]}, Т = {г,ф\г=\,ф£ [0,2тг]}. Для априорной оценки решения задачи по неравенству (6) необходимо найти постоянную С. Известно, что С = l//i, где /л - наименьшее собственное значение оператора -А в области £1 при нулевом граничном условии[3]. В случае круглого сечения/i = (^)2,где^ = 2.40482-первый нуль функции Бесселя нулевого порядка [4, 5]. Таким образом, решение задачи (5) ограничено в L^ от 0 до 1 с весом г по неравенству (6), где С = 0.172915. Причем, если G е (-11.56632тт(\,р-1) - 1,11.56632minCl,/5-1) - 1), то решение стремится к нулю при t -> +оо в норме L2{0) с весом г. Формальным решением задачи, найденным с помощью метода Фурье, будет со со w(r,<p,t) = 2^2^ 1 Л{2) -Л{1) п=\ т=\ /vnm /l< ^пт F0 in2 4- ^1Л in2 4- Л гпт \Япт ~r /lnmJ \Чпт ~r /L ,(1). ,(2). II Р пт _ р"-пт* I _|_ + S о пт -.2 Q-nm """ Л (2)\ 2{2)t пт yvnm -.2 ~ Wnm+Ä ein ](l>t nm yvnm Jn (ä">r) cos пф sin пф (7) со со Т{г,ф,г) = 2^2^ л(2)-л(1) п=\ m=\ /vnm /l> '-пт го пт 2 , 1(2)\ „Änmt пт т /1пт -* иш 1 I Ущ "■" Лцуп | С ,2 , ill) \ „Änmt ' пт т /L«m I н.пт ^п™ ' ' _1_ vu I рлпт1 _ рЛ-пт1 ^ ^пт ' с с где £„ есть т-й нуль функции Бесселя л-го порядка, с^пт = l^„ I и Vй / smn0 Ä (1,2) пт 42nm(P+V , 1 km(^-l)2 2Р р2 + 4G, :0 го а постоянные 5„m, F^m определяются из начальных условий задачи [6] ^пт 1 2п о о 1 2я F° ЕЕ пт о о Проводя прямые вычисления и используя известные факты [7, 8, 9] можно доказать следующую теорему. 199 Теорема 1. Пусть 0 < G < qAn/P , ряды ZZ* 0 I < со У У IF0 I < со п=\ т=\ п=\ т=\ абсолютно сходятся в круге Q U Г и |F„°J + \S°nm\ < Z/Uim)) , 6 > 0,Z = сол^. Тогда решение (7) задачи (5) является классическим и выполнены оценки |w(r,0,OI < Rie^1, \Т(г,ф,1)\ < Я2еАп1. Аналогичные выкладки проведены и для случая прямоугольного сечения. Работа поддержана Красноярским математическим центром, финансируемым Минобрнауки РФ в рамках мероприятий по созданию и развитию региональных НОМЦ (Соглашение 075-02-2022-873).