17 Нежинский В. М. Петров М. В. 2023 2023-03-27 1. Формулировка задачи Задача, которой посвящена эта работа, заключается в построении серии открытых неодносвязных трёхмерных многообразий, допускающих вложения в стандартную трехмерную сферу, дополнения образов которых гомеоморфны замкнутому трёхмерному шару, и изучению простейших свойств этих многообразий. 2. Исторические замечания Около ста лет тому назад Дж. У. Александер [1] построил подпространство (стандартной) трёхмерной сферы, гомеоморфное двумерной сфере, дополнение которого является (несвязным) объединением двух подпространств: односвязного, замыкание которого гомеоморфно трёхмерному шару, и неодносвязного (фундаментальную группу которого он вычислил). Такое двумерное подмногообразие обычно называют «рогатой» сферой. Изложения (с разными степенями подробностей) основного содержания работы [1] имеются также в [2, 3, 4]. Конструкция Александера допускает многочисленные очевидные обобщения, позволяющие построить аналоги его «рогатой» сферы. (Некоторые из возможных обобщений упомянутыв[2].)Импульсомквыполнениюэтой работыявилось желание изучить свойства неодносвязных компонент дополнений соответствующих аналогов «рогатой» сферы. 3. Подготовительный материал 3.1. Стандартные элементарные многообразия с краем Рассмотрим стандартно ориентированный замкнутый единичный шар в трёхмерном евклидовом пространстве, высверлим из него сквозное отверстие, как показано на Рис. 1, и занумеруем края отверстий, лежащих на граничной сфере шара, числами 0 и 1. Заметим, что, как нетрудно видеть, это топологическое пространство - компактное ориентированное трёхмерное многообразие с краем, гомеоморфное полноторию с фиксированными и упорядоченными между собой двумя параллелями. Обозначим это многообразие с указанным оснащением через . Далее, пусть - какое-нибудь целое число. Рассмотрим топологическое пространство, полученное из стандартного заполненного цилиндра высверливанием двух сквозных отверстий, «зацеплённых» друг с другом «с коэффициентом зацепления k», как это изображено на рис. 2. (Каждое отверстие начинается и заканчивается на одном и том же основании цилиндра.) Занумеруем основания цилиндров числами 0 и 1 и края отверстий, принадлежащих основанию номер 0 цилиндра числами 00 и 01, основанию номер 1 цилиндра числами 10 и 11. Нетрудно видеть, что это топологическое пространство является компактным трёхмерным многообразием с краем, что оно гомеоморфно кренделю, на крае которого фиксированы и упорядочены по две параллели каждой ручки. Обозначим это многообразие с указанным оснащением через и назовём его пробкой типа . 3.2. Последовательность многообразий с краем, нужная для п. 4 Искомую последовательность построим индуктивно. 258 Рис. 1 Пусть ко, коо, £оь ^ооо, £ооь £окь &oib • • • > ^оооо, ^оооь &оокь----целые числа. Первое многообразие искомой последовательности определим как результат приклеивания к многообразию Т пробки типа ко по какому-нибудь обращающему ориентацию гомеоморфизму боковой поверхности этой пробки на край высверленного в многообразии Т отверстия. Обозначим это многообразие через А(ко). Второе многообразие искомой последовательности определим как результат приклеивания к многообразию А(ко) пробок типов коо и &oi по каким-нибудь обращающим ориентацию гомеоморфизмам боковых поверхностей этих пробок на края высверленных в многообразии А(ко) отверстий. Обозначим это многообразие через А(ко, коо, ко\). В дальнейшем мы будем считать, что А(ко) с А(ко, коо, &oi)- Третье многообразие искомой последовательности определим как результат приклеивания к многообразию А(ко, коо, &oi) пробок типов кооо, ^ооь ^ою и ^оп по каким-нибудь обращающим ориентацию гомеоморфизмам боковых поверхностей этих пробок на края высверленных в многообразии А(ко, коо, &oi) отверстий. Обозначим это многообразие через А (ко, коо, &оь ^ооо, ^ооь £окь £оп)- В дальнейшем мы будем считать, что и А{ко, к0о, &oi) содержится в А{ко, к0о, &оь к0оо, &ооь &oio, &оп). Продолжая построения многообразий искомой последовательности по той же схеме, мы получим бесконечную последовательность вложенных друг в друга многообразий А(ко), А(ко, коо, ко\), А{ко, коо, &оь ^ооо, &ооь &ою> £оп)>... 259 4. Пространство Л{к) и его свойства Положим к = (ко, коо, ког, кооо, &ооь кою, коп, • • • )• Искомое топологическое пространство 3\{к) определим как объединение внутренностей всех многообразий последовательности А(ко), А(ко, коо, koi), А(ко, коо, koi, kooo, kooi, кою, коп), ■ ■ ■ Перечислим теперь его простейшие свойства. 1. Пространства 3\.{к) являются открытыми связными многообразиями. 2. Многообразия 3\.{к) ориентируемы и, сверх того, стандартно ориентированы. (Ориентация многообразия Л{к) определяется ориентацией многообразия Т.) 3. Многообразия 3\.{к) можно вложить в стандартную трехмерную сферу, так чтобы дополнения образов этих вложений являлись «рогатыми шарами» Алек-сандера. 4. Многообразия 3\.{к) являются неприводимыми. (То есть любое его подмногообразие, гомеоморфное сфере, ограничивает в нём шар). Обозначим через G{k) группу, имеющую копредставление вида (ао, аоо, яоь «оось яооь яою> аоп, ■ ■ ■ I ао = [floo, (яоь яоо) °], öoo = [яооо, (öooiöooo) 00],öoi = [öoio, (öohöoio) 01] • • •)• 5. Многообразия 3\.{к) являются пространствами типа K(G(k),1). 6. Многообразия 3\.{к) гомологически тривиальны. Свойства 1 -4 проверяются простыми стандартными рассуждениями, свойство 6 следует из 5. Для доказательства свойства 5 достаточно вычислить фундаментальную группу многообразия Л{к); вычисление это весьма громоздко (ср. [3]) и потому мы его здесь не приводим. https://rep.herzen.spb.ru/publication/379 https://rep.herzen.spb.ru/files/399