%0 
%A Антипова, Л. А.
%T РАССУЖДЕНИЯ О НЕОРИЕНТИРУЕМЫХ ОДНОРОДНЫХ МНОГОГРАННИКАХ С ВЫПУКЛЫМИ ГРАНЯМИ
%D 2023
%X В 2020 г. в сборнике Герценовских чтений Алексеем Леонидовичем Вернером совместно с автором данной работы была напечатана статья «Невыпуклые однородные многогранники с выпуклыми гранями» [1], в которой из существующих 75 типов однородных многогранников выделены многогранники с выпуклыми гранями, которые стали объектом нашего изучения. Следует отметить, что в статье был пропущен один многогранник - большой битригональный икосододекаэдр. Эту ошибку мы обнаружили при работе над учебным пособием «Строение невыпуклых однородных многогранников с выпуклыми гранями» [2], которое было издано 2021 г. В пособии подробно описаны способы построения всех 17 типов однородных многогранников с выпуклыми гранями, решен вопрос их ориентируемости и доказаны некоторые другие их свойства. Двигаясь в направлении, заданном А. Д. Александровым в его монографии «Выпуклые многогранники», и начав с построения невыпуклых многогранников, мы перешли к определению их числовых характеристик и исследованию 249 свойств. Так были обобщены понятия сферического изображения, площади сферического изображения и кривизны для невыпуклого многогранного угла, доказан аналог теоремы Гаусса - Александрова о равенстве кривизны и площади сферического изображения многогранного угла ориентируемого однородного многогранника [3]. Изученные свойства ориентируемых однородных многогранников будут изложены в книге «Семь пар полярно-двойственных ориентируемых невыпуклых многогранников», издание которой запланировано на осень 2022 г. В настоящей статье обратимся к неориентируемым однородным многогранникам с выпуклыми гранями и рассмотрим одно из присущих им свойств - существование ориентируемого абстрактного многогранника, двулистно накрывающего данный неориентируемый многогранник. В трёхмерном евклидовом пространстве существует 17 типов однородных невыпуклых многогранников с выпуклыми гранями, среди которых 8 типов ориентируемых и 9 типов неориентируемых многогранников [2]. Каждый многогранник Р определятся своей комбинаторной схемой и геометрической реализацией этой схемы в пространстве [4]. Под комбинаторной схемой будем понимать схему некоторого геометрического двумерного клеточного комплекса К, клетки которого заданы как точки, отрезки и двумерные плоские выпуклые многоугольники. Такую комбинаторную схему будем называть абстрактным многогранником. Очевидно, что два многогранника, имеющие различные комбинаторные схемы - различны. Обратное утверждение неверно даже для однородных многогранников. В пособии [2] доказано, что существуют неравные однородные многогранники с общей комбинаторной схемой. Например, невыпуклый однородный многогранник - большой ромбокубо-октаэдр и выпуклый архимедов многогранник - ромбокубооктаэдр имеют одну и ту же комбинаторную схему, но разные геометрические реализации. К неориентируемым однородным многогранникам с выпуклыми гранями относятся следующие многогранники: гептаэдр, кубогемиоктаэдр, малый ромбогексаэдр, малый икосогемидодекаэдр, малый додекогемидодекаэдр, большой додекогемиико-саэдр, малый ромбододекаэдр, малый додекоикосаэдр и ромбоикосаэдр. Геометрический клеточный комплекс К каждого из перечисленных многогранников гомеомор-фен некоторой двумерной неориентируемой поверхности М, на которой он задает клеточное разбиение. Теорема 1. Для всякого невыпуклого неориентируемого однородного многогранника Р с выпуклыми гранями существует ориентируемый абстрактный многогранник Р*, поверхность которого является двулистной накрывающей поверхности многогранника Р. Доказательство. Пусть Р - неориентируемый однородный многогранник с выпуклыми гранями, М - поверхность, гомеоморфная его клеточному комплексу с соответствующим клеточным разбиением. Пусть многогранник Р имеет ko, k\, ki вершин, ребер и граней соответственно. Известно, что всякая неориентируемая поверхность 250 имеет ориентируемую двулистную накрывающую [5]. Если М* ориентируемая поверхность двулистно накрывающая поверхность М, то на М* задано клеточное разбиение, имеющее 2ко, 2к\, 2Jc2 0-мерных, 1-мерных и 2-мерных клеток соответственно. Причем к каждой одномерной клетке подходит ровно две двумерные. Для того чтобы утверждать, что клеточное разбиение поверхности М* определяет ориентируемый абстрактный многогранник с той же комбинаторной схемой, достаточно показать, что от всякой двумерной клетки поверхности М* до всякой другой двумерной клетки можно дойти, переходя через 1-мерные клетки. Это непосредственно следует из утверждения, что ориентирующая накрывающая М* многообразия М связна тогда и только тогда, когда многообразие М неориентируемо [6]. Таким образом, клеточная структура поверхности М* задаёт двумерный клеточный комплекс К*, который в свою очередь определяет абстрактный ориентируемый многогранник Р*. Поверхность многогранника Р* является двулистной накрывающей поверхности многогранника Р. Теорема доказана. Заметим, что для гептаэдра, построение которого представлено, например, в книге [7], ориентируемый абстрактный многогранник, двукратно его накрывающий, может быть реализован архимедовым многогранником в евклидовом трехмерном пространстве. Это несложно увидеть, проведя следующие рассуждения. Возьмём куб и соединим середины соседних ребер. Полученные отрезки ограничат шесть квадратов на гранях куба и четыре треугольника, как бы отсекающие вершины куба, которые будут являться гранями архимедова кубооктаэдра. Теперь если отождествить симметричные относительно центра куба вершины, ребра и грани кубооктаэдра, то получим гептаэдр, двулистно накрытый кубооктаэдром. Ориентирующие накрывающие остальных восьми неориентируемых однородных многогранников не имеют геометрической реализации в виде однородных многогранников, поскольку их комбинаторные схемы не совпадают ни с одной комбинаторной схемой известных однородных многогранников. Остаётся открытым вопрос о возможности реализации ориентирующих накрывающих восьми типов неориентируемых однородных многогранников в виде каких-нибудь геометрических многогранников в трехмерном евклидовом пространстве. Выражаю благодарность своему научному руководителю Алексею Леонидовичу Вернеру, доктору физико-математических наук, профессору кафедры геометрии РГПУ им. А. И. Герцена за чуткое руководство и содействие в создании данной статьи. А также благодарю Конькину Веронику Сергеевну, магистрантку первого курса за помощь в подготовке статьи к печати.
%U https://rep.herzen.spb.ru/publication/377