%0 
%A Флегонтов, А. В.
%A Буре, В. М.
%T АТТРАКТОРЫ РАВНОВЕСИЯ НЕКОТОРОЙ ТРЕХМЕРНОЙ ОБОБЩЕННОЙ СИСТЕМЫ ЛОТКИ - ВОЛЬТЕРРА
%D 2023
%X Традиционно для моделирование взаимодействующих процессов в популяци-онной динамике применяются обыкновенные дифференциальные уравнения в виде системы Лотки-Вольтерра (см., например, [1, 2]). В последнее время эти же системы и их обобщения повсеместно применяются в моделировании эпидемиологических процессов, микро-макро экономических конкурентных процессах, динамики генетических структур (см., например, [2]-[5]). Следуя работе [5], будем рассматривать динамическое взаимодействие между отечественными и зарубежными компаниями и ростом ВВП. Такое моделирование динамики микро-макро экономики появилось в результате анализа данных о доле рынка розничной торговли 13 крупнейших стран Еврозоны и идентификации параметров рассматриваемой системы по аналогии взаимоотношений «хищник -жертва». В качестве адекватной выборки использовались данные крупнейших стран Еврозоны, включая Австрию, Бельгию, Финляндию, Францию, Германию, Грецию, Ирландию, Италию, Нидерланды, Португалию, Словакию, Словению и Испанию. В работе [5] было показано, что при определенных режимах иностранные компании вносят отрицательный вклад в рост ВВП и такая динамика выявляет два уровня дисбалансов: конкурентоспособность компаний и рост национальной экономики. Эмпирические результаты показали, что большинство отечественных компаний можно рассматривать в роли «добычи», в то время как крупные иностранные компании играют, как правило, роль «хищников» в большинстве стран Еврозоны. Рассмотрим трехмерную обобщенную систему Лотки-Вольтерра в виде: z а\х{\ - х) + агх--------ь азху, 1 + z z biy{\-y) + b2y------+ b3xy, (l) 1 + z X У c\z{\ -z) + c2z-------+ c3z-------. 1 -1-х 1 +y ' dx dt dy_ dt dz /i = h = h = 246 где х и у обозначают доли рынка отечественных и иностранных компаний, a z - ВВП соответственно. В отличие от работы [5] проведем полный анализ стабильности рассматриваемой системы (1) для каждой из рассматриваемых стран (см. таблицу). Будем принимать во внимание точки нетривиального равновесия и только те точки, которые находятся в R+, поскольку в силу экономической интерпретации должно выполняться условиех,у, z е R+. По определению, точки равновесия w* = (х*,у*, z*) находятся из решения системы уравнений ft{x*, у*, z*) = 0, i = 1,2, 3. При этом таких точек может быть несколько, а может не быть ни одной. Анализ устойчивости точек равновесия определяется собственными значениями матрицы Якоби в соответствии с теоремой Ляпунова об устойчивости. Качественные характеристики поведения системы в окрестности точек равновесия также определяются собственными значениями. Если, независимо от начального состояния в момент времени to, решения сходятся к точке равновесия, то такая точка называется точечным аттрактором системы. № п/п Страна Количество точек равновесия Координаты Тип устойчивости Качественный характер 1 Германия 1 (18,61; 1,69; 116,42) неустойчивая фокус 2 Австрия нет - - - 3 Бельгия нет - - - 4 Словения 1 (11,29; 6,69; 169,26) устойчивая фокус 5 Финляндия нет - - - 6 Словакия 1 (16,42; 5,74; 147,2) устойчивая фокус 7 Нидерланды 1 (10,19; 1,29; 124,28) неустойчивая седло 8 Франция 1 (20,72; 2,71; 113,58) устойчивая узел 9 Португалия 2 (1,28; 1,9; 0,71) (45,89; 10,26; 102) неустойчивая устойчивая фокус узел 10 Ирландия 1 (16,99; 5,39; 109,99) неустойчивая фокус 11 Испания 1 (23,52; 3,61; 133,05) неустойчивая фокус 12 Италия 2 (0,06; 0,05; 0,2) (17,86; 2,096; 95,86) неустойчивая устойчивая фокус фокус 13 Греция 1 (98,37; 9,12; 136,25) неустойчивая фокус Построены интегральные кривые, фазовые портреты и проанализированы аттракторы в системе (1). Более полный, по сравнению с работой [5], анализ дал возможность сравнить рассматриваемую модель в виде (1) с моделью Гинзбурга [4], а также поставить вопрос о полной управляемости анализируемой модели.
%U https://rep.herzen.spb.ru/publication/376