RT - 
SR - Electronic
T1 - ПОВЕДЕНИЕ МЕРЫ ХАУСДОРФА ПРИ ОТОБРАЖЕНИЯХ
SP - 2023-03-27
A1 - Широков, Н. А.
A1 - Фофанов, К. А.
YR - 2023
UL - https://rep.herzen.spb.ru/publication/373
AB - 1. Основные понятия. Общеизвестные факты Прежде, чем мы сформулируем основные результаты статьи, познакомим читателя с используемыми нами понятиями. Напомним, что при построении меры Лебега на плоскости R2 рассматривается следующая конструкция. Для М с R2 1. если М - прямоугольник вида М = [а,Ь)х[с, а),тд&а,Ь, с, d е Q, то мерой Л (М) множества М положим произведение длин его сторон: Л(М) = (Ь - а) ■ (d - с). 2. если М - объединение конечного семейства попарно непересекающихся прямоугольников Pi, P2,..., Рп (назовем такое множество элементарным), то мерой п Л(М) множества М положим сумму мер Л(М) = 2 Л{Рк). к=\ Очевидно, что рассмотренные нами прямоугольники и всевозможные их конечные объединения не исчерпывают всевозможных множеств, меры которых хотелось бы определить. Поэтому для определения меры Лебега используется Определение 1. Пусть М с R2 -ограниченное множество. Внешней мерой Лебега Л*(М) множества М назовем точную верхнюю грань мер всевозможных элементарных множеств, содержащих Р. 236 Конструкция внешней меры удобна тем, что она позволяет определять внешнюю меру для произвольных ограниченных множеств. (С дальнейшим построением этой конструкции читатель может ознакомиться в [3, с. 272].) Важным понятием для начальной теории меры является внешняя мера Ха-усдорфа. Конструкция ее определения частично напоминает построение внешней меры Лебега. Пусть, снова, М с R2. Зафиксируем некоторое в > О и рассмотрим всевозможные счетные покрытия множества М открытыми кругами В{хк,Гк) = {у е R2 | р(хк,у) < г к), радиусы которых были бы меньше, чем е. Зафиксируем число О < а < 2. Для каждого из покрытий вычислим сумму 2 rZ ■ Множество всех таких keN сумм обозначим через ЭД. Определение 2. Внешней а, s-мерой Хаусдорфа ha(M, в) множества М будем называть инфимум множества %, взятый по всевозможным покрытиям множества М, удовлетворяющим условию г к < е. Собственно, внешней мерой Хаусдорфа называют следующий объект, который вводится при помощи внешней а, е-меры. Определение 3. Внешней а-мерой Хаусдорфа ha{M) множества М называется предел ha(M) = lim ha(M,s). Легко доказать следующие свойства внешних мер ha{M,s),ha{M) (будем обозначать символом р любую из этих мер): l./i(0) = O; 2. /i монотонно по включению, то есть А с В ==> р{А) < р{В). 3. р счетно-аддитивно, то есть из того, что множество А является объединением множеств Ап следует, что р{А) не превосходит суммы мер этих множеств: A={jAn => р(А)<^р(Ап). neN neN Данная статья посвящена результату, который был получен нами при обобщении основной теоремы статьи [2] с некоторым изменением определения мер ha(M, е), ha(M). При всех обозначениях определений (2), (3) выберем также число О < ß < 1. Для каждого покрытия множества М шарами, радиусы которых меньше, чем б > 0, вычислим сумму 2>-|1пг,Г кеН 237 Множество всех таких сумм обозначим через ЭД. Теперь по аналогии введем следующие два понятия. Определение 4. Внешней a,ß,£-juepou haß(M,s) множества М будем называть точную нижнюю границу множества %. Определение 5. Внешней a,ß- мерой Хаусдорфа haß(M) множества М называется предел ha,ß(M) = lim ha>ß(M,e). Для введенных нами мер полностью аналогично доказываются свойства, аналогичные ранее сформулированным. Понятия интеграла Лебега, аналитической функции и ее римановой поверхности, к сожалению, являются слишком объемными для изложения их в формате статьи, поэтому мы будем полагать читателя знакомым с ними. 2. Известные ранее результаты В этом разделе нам придется дать краткую характеристику обобщаемых нами результатов. «Принцип длины и площади» Альфорса может быть сформулирован следующим образом. Пусть А - область комплексной плоскости, / - аналитическая в А функция, Ir = {z е A I \f(z)\ = R}-QQ линия уровня. Пусть Е с А - множество конечной плоской меры Лебега А(Е), Er - пересечение линии уровня Ir с Е, Tr = /(Er). Тогда, с учетом обозначения через \Er\, \Tr\ линейных мер множеств Er и Tr соответственно, справедливо следующее неравенство: оо J Щ-dR < 2лА(Е). (1) о В статье [1] было предложено обобщение теоремы Альфорса при замене меры Лебега на а-меру Хаусдорфа. Сохраним обозначения: области А, линии уровня Ir, множества £сА конечной а-меры, а также введем новые: EfR^e - часть Е, удаленная от Ir не более, чем на s; TiRS - образ £/л,е при отображении /. В этом случае было доказано, что {ha(EiRe))^ lim1 lR>eJ> , Ä(dR) < 2ha+1 (E), (2) >0 (ha(TlR,s))a где интеграл берется по мере Лебега, а подынтегральные функции (здесь и далее) полагаются измеримыми. В настоящей работе путем небольшого усложнения доказательства удалось получить аналогичный результат, справедливый уже для меры haß, где ß e [0; 1]. Очевидно, при /5 = 0 мы получаем предыдущий результат как частный случай. 238 3. Леммы. Основной результат статьи. Зададимся вопросом: что произойдет, если в неравенстве (2) заменить а-меру на а, /5-меру? Оказывается, что при подобной замене неравенство останется справедливым и, более того, вне зависимости от выбора константы ß оно не будет зависеть от нее. Таким образом, с учетом сделанных ранее обозначений, г h° (Е П Ir,£) / Ит -^------------Ä(dR) < 2ha+hß(E). (3) (0;co) na,ß"R,£> Данный результат был получен с помощью применения следующих двух лемм. (Примечательно, что формулировки лемм, полученные заменой а-мер на а, /5-меры, также остались верны и не зависят от параметра ß.) Введем обозначения. Пусть А с С. Рассмотрим функцию /, аналитическую над А. Обозначим через D ее риманову поверхность, <р - обратную к / аналитическую функцию. Пусть Т^ с D, Е = (fiF). Лемма 1. При ранее оговоренных обозначениях, для а е (1; 2] K,ß{E) = J' W'{w)\adha,ß. (4) Г Прежде, чем мы перейдем к формулировке второй леммы, нам потребуется дать еще одно определение. Определение 6. Мерой Хаусдорфа haß множества Т на римановой поверхности D будем полагать сумму мер множеств Tj, где каждое T'j - пересечение Т с одним из листов (на каждом из которых паф-мера определена стандартно). Лемма 2. Пусть Т е D, каф{Т^) < °°. Пусть Tr - часть Т', проекция которой лежит на окружности \w\ = R. Тогда выполнено неравенство f haß{TR)A{dR) < 2ha+hß(rR). (5) (0;оо) Доказательство леммы 2 повторяет доказательство, приводимое в [2]. Доказательство леммы 1 не может быть повторено с такой же точностью, однако оно легко восстанавливается элементарными средствами анализа. В заключение хотелось бы отметить, что, несмотря на то, что нам удалось, повторив и оптимизировав технически сложные рассуждения из [2], получить новый 239 результат, этот результат не является полным, так как основывается на предположении об интегрируемости по Лебегу всех подынтегральных функций. Представляет интерес продолжение работы в сторону отказа от этого предположения и замены интегралов Лебега на внешние интегралы. Второй автор благодарит своего научного руководителя Н. А. Широкова, за содержательные беседы, предоставленные и предоставляемые возможности.