PT - JOURNAL ARTICLE
AU - Мартынов, О. М.
TI - ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИОННЫЕ КОНСТАНТЫ<i>A(Ym, ^™)</i><sup>и</sup><i>A(Ym,l"m)</i>
DP - 2023-03-27
SO - https://rep.herzen.spb.ru/publication/372
AB - Пусть Y - замкнутое подпространство банахова пространства X. Линейный ограниченный оператор л : X -&gt; Y называется оператором проектирования (проекцией) X на Y, если лу = у для любого у е Y. Множество всех операторов проектирования пространства X на подпространство Y будем обозначать л(Х, Y). Относительной проекционной константой подпространства Y в пространстве X называется число Ä(X,Y) = inf{||7r||, л- е n(X,Y)}. Среди операторов проектирования особый интерес представляют те, для которых выполняется равенство ||л"|| = A(Y,X). Такие проекции, если они существуют, называются минимальными. Пусть У(и_1)ш есть (п - 1)т-мерное подпространство пространства X = 1^т -лт-мерного линейного нормированного пространства элементов х = (хг)"ш с нормой пт = У \xt\ (п &gt; 2, т &gt; 2). Известно [1], что любой оператор проектирования л : /"ш -&gt; У(и_1)т имеет вид ла, где т лах = х-^а1^{х), i=i щ = (&lt;*г;)"=1 - элементы пространства /"ш, a fi = (fij)"^ Ф 0 - линейные функцио- 228 налы, определенные в /"ш, причем пт fi(aj) = X aJvfiV = öiJ («', J = 1, • • • , W). (1) p=l Гиперплоскости пространства lnm имеют вид пт fr1 (0) = \х е I™ | Мх) = YjfiPxP = OKI = 1,.. .,m), и в силу линейной независимости функционалов ß■ (i = 1,... ,т), которая следует из формул (1), пространство Y(n-\)m = n™lt/j._1(0) является подпространством пространства 1пт коразмерности т. Норма оператора ла вычисляется по формуле пт л\\ = max Mj, где Mj = \ 1 &lt; / &lt;ит *-{ 1=1 т p=i pj Найдем относительные проекционные константы некоторых классов подпространств коразмерности т пространства /?ш. Аналогичные результаты для пространства I™ можно найти в работах [2]-[5], [7], [8]. Рассмотрим несколько случаев. 1. Пусть сначала п = 2, то есть ла : 1^т -&gt; Ym, а функционалы fi (i = 1,..., т), определенные на 1^т, имеют вид: \2т 1, если у = г, ft = (fij)j=v гДе fij = \ гь если j = m + i\ п &gt; 0, т &gt; 2. О, если j Ф i,j Ф т + i; Тогда соотношения (1) примут вид fi(aj) = cKji + rtajm+i = öij (i, j = 1,.. .,m). (2) (3) ДО) i2m Теорема 1. Пусть ла - минимальный оператор проектирования пространства /^ на подпространство Ym, определяемое функционалами (2). Тогда г 2т (О), A(Ym,ll ) = \\ла || = 1. Доказательство. Найдем значения М(0) (j = !,-•• ,2т). Имеем М(0) = 1 (0) 1 - а)/ + 2т Z k=l, кф] \а (0) jk ,м, (0) m+j 1 (0) 1 - Г] а. . + r 2т z \а (0) k=\, кфт+j 229 где j = 1, Тогда ,т. Воспользуемся тем, что щ. | &gt; 0, |«/ш+у| &gt; 0 при i Ф j и условиями (3). kfll &gt; Mf &gt; I U II j 1 (0) 1 - a); + (0) ry . jm+j 1 (0) 1 - a)/ + 1 (0) 1 - a)/ 1+rj 1 (0) 1 - a)/ &gt; l+rj (0) a)j (0) a)j + r, |,_(0)|| &gt;M(0) 1 - ryar (0) + r, (0) a)j = (l+rv) (0) (j = \,...,m). (0) Умножим каждое из неравенств для М(0)+. (j = 1,...,т) на^ &gt;0, получим J71 ту Гу I Ihr«» II &gt;1М(°) &gt; Г 'а J 1+г7- 7 (0) (У = 1,...,т). Для каждого номера j (j = 1,..., т) сложим соответствующие неравенства почленно: 1 +Ti l+r r. J r. m+j r. (0), J Отсюда следует, что Цл-^ || &gt; 1. Покажем, что полученная оценка снизу точная. Положим (0) (0) 1 JJ jm+j l+r- (j = \,...,т). Все остальные аи пусть будут равны нулю. При этом условия (3) выполняются. Тогда и j (0)_ 1 - 1 l+rj + 1 l+rj + 1 l+rj l+rj = 1. M(0&gt; = m+j l+rj + r, l+r, l+rj + l+rj = 1, (j = l,...,m). Таким образом, max My = I (j = !,••• ,2m). Следовательно, Л(Ут,1^т) = CO) |, T ^ II = 1- Теорема доказана. 2. Пусть функционалы ft (i = 1,..., m), определенные на /"ш, имеют вид: т т т Л = (1,0,...,0,г,0,...,0,...,г,0,...,0,), 230 /2 = (0,l,...,0,0,r,...,0,...,0,r,...,0), (4) /m = (0,0,...,l„0,0,...,r,...,0,0,...,r). m {n-l)m где r &gt; 0, m &gt; 2,, а п &gt; 3. Тогда соотношения (1) примут вид и-1 У)(аг70 = ату,- + r 2_j ajpm+i = ötj (i, j = 1,..., m). (5) Теорема 2. Пусть л^' - минимальный оператор проектирования пространства /"ш на подпространство У^п-\)т, определяемое функционалами (4). Тогда ДО), i/'v inm\ n^-Vu Л\У{п-\)т,1\ ) = \\ла {п-\){г+\у = 1 + 2(п - 2)г (т7-1)(г2+1) + 2г (n-l)(r2+l) + 2r'' и-3 и-1 причем, если п = 3, то г &gt; 0, а если л &gt; 3, то ^у &lt; г &lt; ^. Доказательство. Выражения для М) (j = 1, • • • , ит) примут вид пт м (0) j т = Z ^ - Z ^^= Z К -&lt;* если j = 1,... ,т; k=i пт '71 1 (0) 1 - «)/ пт i=l fc=l, £*./ о ату 7^ М (0) pm+j пт i=l m ~ Z.J ipm+J L-k ki Jkpm+j ~ /_j\uipm+j '«у. k=l nm ,(0) i=\ 1 - ra (0) 7 /"«+;' + Г nm z fc=l, кфрт+j \a (0) , если /? = 1,..., tz - 1; j = 1,..., m. r(0) Далее достаточно рассматривать только МК^+1 (р = 0,1,... ,п - 1). Для остальных М. получаются те же оценки. Учтем, что \а^ .| &gt; 0 при i Ф 1 и условия (5). Тогда 1*2» II &gt; &lt;» &gt; и-1 i-&lt;VZK (0) рт+1 р=\ \-а (0) и + \-а (0) и 1 +г \-а (0) и 231 1 +Г ,л &gt; - (1r а (0) и , ||4°&gt;||&gt;M&lt;°&gt; &gt;l-r ' " " " m+l а (0) lm+1 |_(0)|, &gt; M(0) i \Ла II ^ M2m+l ^ l Г а (0) 12m+l л-1 + г У \a\0) +1 / i | 1 pm+1 р=0,рф2 n-1 + r V L&lt;°&gt; +1 / j | lpm+l р=0,рф1 ,,_(0)|| &gt;M(0) » ll^a II ^ ^(и_1)ш+1 ^ 1 -Г n-2 Qf (0) 1 (n-l)m+ r(0) 1 / j lpm+l p=0 Сложим неравенства для мк2+1 (p = i,...,n-i) почленно л-1 (л - l)||40)ll &gt; YjMZ+i &gt;n-\ + {n-\)r а®&gt; +(п- 3)r JV л-1 ,(0) рт+1 &gt; р=\ р=\ п - 1 + (п - \)г а (0) и + (п - Ъ)г л-1 / j 1 рт+1 р=1 = п - I + (п - \)г а (0) и + (п -Ъ)г \-а (0) и &gt; п - 1 + (л - 1)г Of (0) 11 + (п - Ъ)г (\ - а(^ )=2п-4+[(п-1)г-(п-3)] а (0) и Умножим последнее неравенство на -^-_ венством для М| . Получим / (и-1)(1+г) l+r 1)г-(л-3)] &gt; 0 и сложим его с нера- .(0), л.1111 wn ^ 1 + г . (2я-4)(1 + г) _|_ I I \\тгх / \\ ^&gt; _ -L _ г[(л - 1)г - (п - 3)] / г г[(п - \)г - (п - 3)] гл и (0)м ^ (и-1)(1+г)2 л , Отсюда следует, что \(ка || &gt; ,v ^Л.-ч ., = 1 + 2(л-2)г = м0. (и-1)(г2+1)+2г ~~ (и-1)(г2+1)+2г Покажем, что полученная оценка снизу точная. Снова будем рассматривать только М jl+l (р = 0,1,..., п - 1). Для остальных М. рассуждения будут аналогичными. Положим (0) ап = -, а (0) 1+г л - 1 - (п - Ъ)г (я-1)(г2 + 1) + 2г' "1.^+1 ~ („ - 1)(г2 + 1) + 2г (/? = 1,.. .,п- 1), 1 pm+i а л '.,.. ..• = 0 при г ^ 1. при этом условия (5) выполняются. Тогда М (0)_ 1 п - 1 - (п - Ъ)г (п- 1)(г2+1) + 2г 232 + (и-1)(1+г) (л- 1)(г2 + 1) + 2г (n-l)r(l+r) (n-l)(l+r) (n-l)(r2 + l) + 2r (n-l)(r2 + l) + 2r M (0) pm+1 r(l +r) (n- l)(r2 + l) + 2r + r n -l-(n-3)r (n- l)(r2+l) + 2r + (n-2)r(l+r) (n- l)(r2 + l) + 2r (n - 2)r2 + (n - 1) + r + r(n - 1) - (n - 3)r2 + (n - 2)r(l + r) (n- l)(r2 + l) + 2r = M0, где /? = 1,.. .,n - 1. Таким образом, max Mj = Mq (j = 1,... ,ш). Следовательно, Л(T(„_i)m, /"ш) = и (О),, , , 2(и-2)г IK'a II f („_i)(r2+1)+2r- Теорема доказана. 3. В этом случае функционалы ft (i = 1,..., т), определенные на /"ш, зададим следующим образом: т т т т (6) Л = (1,0,...,0,1,0,...,0, г, 0,...,0,..., г, 0,...,0,), /2 = (0,1,..., 0,0,1,..., 0,0, г,..., О,..., О, г,..., 0), /„ = (0,0,..., 1,0,0,..., 1,0,0,..., г,..., 0,0,..., г). ^-------------------._/ ^-----------------------. _/ 2m (п-2)т где г &gt; 0, m &gt; 2, а й &gt; 4. В этом случае, если У(и-1)ш = П^^г^О), то для проекций л"а е л(1™п, У(п-\)т) соотношения (1) примут вид и-1 УК«/) = CKji + ajm+i + Г 2_j CKjpm+i = Öij (i, j = 1, . . . , ш). p=2 (7) ДО) Теорема 3. Пусть ла - минимальный оператор проектирования пространства /"ш на подпространство У^п-\)т, определяемое функционалами (6). Тогда ~i(v inm\ и_(0)|| 1 I Щ{п-1)т, 1\ ) = \\Ла II = 1 + (п - 2)г а " * ' (п-2)г2-(п-4)г+(п-2У п-А л-2 причем, если п = 4, то г &gt; 0, а если л &gt; 4, то ^ &lt; г &lt; ^ Доказательство. Найдем выражения для м) (j = 1, • • • , пт) пт м (0) pm+j i=l т - 2_j "ipm+j /_kaki J к pm+j ~ 2_j \°i k=l nm (0) ' Pm+j aji i=l 1 (0) I - a ■ J Pm+j + 233 nm z \a (0) jk M (0) pm+j k=\, кфрт+j nm если p = 0,1; j = 1,..., m; i=l + Г m nm (0) -Y s -Va(0)f, --YU- -ra(0 ~ Z.J ipm+J L-k ki Jkpm+j ~ /_j\uipm+j r^ji nm z fc=l (0)1 i=l а 1 (0) rujpm+j\ /_j \"jk k=\, кфрт+j если p = 2,..., n - 1; j = 1,..., m. (0) Далее достаточно рассматривать только МК^+1 (р = 0,1,... ,п - 1). Для остальных М получаются те же оценки. Учтем, что \а\ | &gt; 0 при i Ф 1 и условия (5). Тогда л &gt; м&lt;:&gt;+1 &gt; 1 - Of (0) 1 кт+1 л-1 + Z И (0) рт+1 |_(0)ц &gt; м(0) 1 Откуда получим а (0) 1 Ьи+1 р=0,рфк л-1 , если Л: = 0,1; / 1 | 1 /7Ш + 1 р=0, рфк если &amp; = 2,..., п - 1. л-1 2.|kfll&gt;M1(0) + M(0U2 + 2.yL(0) 1 " " " 1 т+\ / к | 1 рт+1 р=2 Г 1-(а(0)+а(0) 1 iUjj ч-«1|П+1 ^ 2- 1+г 2 г г (0) _,_ (0) 11 lm+1 л-1 , (п - 2)||40)11 &gt; Yj M2+i &gt;п-2+{п-2)г[ р=2 а(0)+ а (0) lm+1 л-1 ) + (n-4)rJ]\a?lm+1\&gt;n-2+(n-2)r( (п-4) л-1 / i I рт+1 р=2 р=2 &gt; п - 2+ (п - 2)г (0) _,_ (0) 11 lm+1 + (0) , (0) а\\ +а1т+1 + (п - 4) 1-(а(0)+а(0) &gt; 2п-6+ [г{п-2)- (п-4)] (0) , (0) а11 +а1т+1 Умножим последнее неравенство на гг(и_2)г-(л-4)1 &gt; ^ и сложим ег0 почленно с неравенством для Mj ' + М^ +^: 2 + 2(л - 2) (о)м 2(1 + г) , 2(2п-6) г[(п-2)г- (п-4)] \ла II &gt; + г г[(п - 2)г - (п - 4)] 234 Отсюда следует, что \\л®\\&gt; {п%Х(п-А)Мп-2) = М*' Положим а(0)=а(0) п-2-(п-4)г (0) 11 lm+1 2[(п - 2)г2 - (п - А)г + (п - 2)]' !'^m+1 ---------г------------------------ (р = 2,..., п - 1), oti ,. = 0 при i Ф 1. (л-2)г2-(л-4)г + (л-2) ^ 7 !^т+г F при этом условия (7) выполняются. Так же, как в теореме 2 можно показать, что в г(0) ртэтом случае М . = М* (р = 0,1..., п - 1). Это доказывает точность полученной оценки. Теорема доказана. Замечание. В работе [6] рассмотрены частные случаи доказанных выше теорем, причем значение константы Ä(Yß, ф должно быть следующим: Ä(Yß, ф = 1 + у^з (теорема 4, с. 64).