RT - 
SR - Electronic
T1 - ФУНКЦИОНАЛЫСКОНЕЧНЫМ НОСИТЕЛЕМ И ГОМЕОМОРФИЗМЫ ПРОСТРАНСТВ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
SP - 2023-03-27
A1 - Лазарев, В. Р.
YR - 2023
UL - https://rep.herzen.spb.ru/publication/370
AB - 1. Введение. Объектом рассмотрения в данной статье выступают пространства   ( ) непрерывных вещественнозначных функций, заданных на тихоновском пространстве  , снабжённые топологией поточечной сходимости. Одно из основных направлений исследований в теории пространств   ( ) (именуемой часто   -теорией) - обнаружение общих топологических свойств пространств   и  , если соответствующие пространства функций   ( ),   ( ) просто гомеоморфны, или же имеет место их гомеоморфизм с некоторым дополнительным свойством (например, линейный, или равномерный). Известно, что в «крайнем» случае, когда   ( ),   ( ) изоморфны как топологические кольца, у пространств   и   общими оказываются вообще все топологические свойства, поскольку они гомеоморфны (теорема Нагаты). Известен [1] весьма длинный ряд свойств, сохраняемых произвольными 218 гомеоморфизмами пространств функций, например мощность, плотность, сетевой вес, /-вес и другие. Важными примерами свойств, сохранение которых произвольными гомеоморфизмами пространств функций доказать до сих пор не удалось, являются топологическая размерность и число Линделёфа. С. П. Гулько, обобщив результат В. Г. Пестова [2] для случая линейных гомеоморфизмов, доказал [3] сохранение размерности dim равномерными гомеоморфизмами пространств функций. А. Бузиад доказал [4], что число Линделёфа сохраняется линейными гомеоморфизмами пространств функций, обобщив прежний результат Н. В. Величко [5], касающийся свойства Линделёфа. В предлагаемой работе описывается способ образования классов гомеоморфизмов пространств функций, позволивший определить такие классы, значительно более широкие, чем класс линейных гомеоморфизмов, и независимые от равномерной структуры пространства функций. В то же время установлено, что результаты А. Бузиада и В.Г. Пестова можно распространить на некоторые из этих классов. Все топологические пространства в работе по умолчанию предполагаются тихоновскими. Каждое тихоновское пространство X можно канонически отождествить с подпространством пространства СР(СР(Х)) = СРСР{Х) посредством гомеоморф-ного вложения в, заданного правилом 6{x){f) = f(x). Ниже мы не будем различать пространства X и в(Х). Таким же образом, каждая непрерывная функция ср е СР(Х) канонически продолжается до (непрерывной) функции Ф : СРСР(Х) -> R по правилу Ф(/) = /(<£)• Здесь R - пространство вещественных чисел. Символом СрСр(Х) обозначается подпространство в СРСР(Х), состоящее из функций /, обращающихся в 0 на нулевом элементе 0Z пространства СР(Х): f(0x) = 0. Запись / = 0 означает f(<p) = 0 для всех tp e СР(Х). 2. Пространства функционалов с конечным носителем. На пары вида (/, К), где / е С^СР(Х), К с X - конечное подмножество, будем налагать некоторые из следующих условий: (fsl) Для любых в > 0 и if е Ср (X) существует 6 > 0 такое, что если if/ е Ср (X) и \<р{х) - <Д(х)| < 6 для всех х е К, то \f{<p) - /(<А)| < £', (fs2) Существует в > 0 такой, что для каждой точки х е К и каждой её окрестности U существует функция <р^ е Ср (X) тождественно равная нулю вне U, но |/(^)| > е; (fs3) Существует в > 0 такой, что для каждой точки х е К и каждой её окрестности U существуют функции tp^, ф^ е СР(Х), совпадающие вне U, для которых \f((p\j) - /((Д)^| > е; (fs4) Для каждой точки х е К пара (/, К \ {х}) не удовлетворяет условию (fsl); (fs5) Если f(<p) Ф 0, то существует to > 0 и две неограниченные неотрицательные функции а, ß неотрицательного аргумента, возрастающие на луче [to; +oo) такие, что a(t)-\f(<p)\<\f(t-<p)\<ß(t)-\f(<p)\. (2.1) 219 Определение 1. Назовём функцию f е С Ср(Х) функционалом с конечным носителем, если существует конечное подмножество К с X такое, что пара (f, К) удовлетворяет условию (fsl) и одному из условий (fs2), (fs3), (fs4). Символом FS2(X) обозначим подпространство в CQCp(X), образованное такими функционалами f, что существует пара (f,K) удовлетворяющая условиям (fsl), (fs2). Аналогично определяются пространства FS3(X), FS4(X). При одновременном выполнении условий (fsl), (fs3), (fs5) будем говорить, что f e FSs (X). При этом элемент К пары (f, К) называется (конечным) носителем функционала f и обозначается suppf. Замечание 1. Легко заметить, что (fsl) => (fs3) => (fs4) и потому FS2(X) с FS3(X) с FS4(X). Кроме того, ясно, что FSs(X) с FS3(X). Предложение 1. Пусть / - функционал с конечным носителем К. Тогда (а) К = 0 фф / = 0; (б) Если tp, if/ е Ср(Х) и <р(х) = i//(x) для всех х е К, то f{<p) = /(<А); (в) Если / е FS-i(X), то его носитель К единственный; (г) Отображение s : FSi(X) -> X, s(f) = К = supp/ это корректно определённая конечнозначная полунепрерывная снизу функция. < Доказательство. Пункты (а) и (б) сразу следуют из условия (fsl). Пункт (в) нетрудно вывести из условия (fs3) и пункта (б). В пункте (г) в доказательстве нуждается только полунепрерывность снизу. Пусть G - открытое подмножество в X. По определению полунепрерывности снизу нужно показать, что множество V = {f е FS?, (X) : s(f) nG Ф 0} открыто в FS^ (X). Пусть / е V. Для каждой точки х е s(f) П G зафиксируем открытую окрестность U(x) так, чтобы U(x) с G и чтобы эти окрестности попарно не пересекались. Теперь для каждой точки х е s(f) П G и её окрестности U(x) зафиксируем функции <рх, \f/x, существующие по условию (fs3). Пусть Фх, Ч** - канонические продолжения с X на C{j)Cp(X) функций <рх, фх соответственно. Тогда множество W = FS3(X) п Р| {(Фх - ¥T!(R \ {0}) : х е s(f) n G} . (2.2) есть открытая в FS3 (X) окрестность функционала /, содержащаяся в V. Более того, если g е W, то носитель s(g) пересекается с каждой окрестностью U(x). ► Замечание 2. Если f e Lp(X), f = Х\ ■ х\ + ... + Лп ■ хп - линейный непрерывный функционал, то, положив К = suppf = {х\,... ,хп}, легко проверить, что выполнены условия (fsl), (fs2). Стало быть, Lp(X) с FS2(X). Кроме того, очевидно, что выполнено условие (fs5) при a(t) = ß(t) = t, а значит, Lp(X) с FSs(X). 220 3. Классы гомеоморфизмов пространств функций. В этом разделе мы опишем метод образования классов гомеоморфизмов пространств непрерывных функций и приведём конкретные примеры. Напомним, что если h : СР(Х) -> CP(Y) - гомеоморфизм, то определено двойственное к h отображение h* : C{p)Cp(Y) -> С{р)Ср(Х) по правилу h*(g)(<p) = g(h(tp)). Как хорошо известно, линейные гомеоморфизмы h : Ср(Х) -> Ср (У) характеризуются тем, что h* (Y) с Ьр(Х)тя.(ЪГ1)*(Х) с Lp(Y).B разделе 2 мы видели, что линейные непрерывные функционалы - это частный случай функционалов с конечным носителем (замечание 2). Таким образом, заменяя Lp{X) на другие (более широкие) пространства функционалов с конечным носителем, мы можем получать другие, более широкие, чем линейные, классы гомеоморфизмов пространств вида СР(Х). Определение 2. Гомеоморфизм h : СР(Х) -> Cp(Y) будем называть FS-k-гомеоморфизмом, где к е {2, 3,4,5}, если h*(Y) с FSk(X) и (h~l)*(X) с FSk(Y). Совокупность всевозможных FS-k-гомеоморфизмов будем обозначать FSH(k). Замечание 3. Из замечания 1 и определения 2 следует, что FSH{2) с FSH(3) с FSH(4). Из результатов статьи [6] следует, что класс FSH(2) строго шире класса линейных гомеоморфизмов. Отметим, что композиция двух FS-k-гомеоморфизмов не обязательно является FS-k-гомеоморфизмом. (В статье [6], Theorem 2.6 показано, что это верно в отношении FS-4-гомеоморфизмов.) Однако введённые в рассмотрение классы FSH(k) позволяют определять новые отношения эквивалентности на классе тихоновских пространств. Определение 3. Скажем, что пространства X, Y e(k)-эквивалентны (пишем X ~^ Y), где к е {2, 3,4,5}, если существуют FS-k-гомеоморфизмы hi : Cp(Xt) -> Cp(Xi+\), i e {1,..., n - 1}, такие, что Х\ = X, Xn = Y. Очевидны следующие два утверждения. Предложение 2. Отношения е(к)-эквивалентности являются отношениями эквивалентности. Предложение 3. Если некоторое топологическое свойство пространств сохраняется FS-k-гомеоморфизмами их пространств непрерывных функций, то это свойство сохраняется и отношением е(к)-эквивалентности. В следующем разделе будут приведены результаты о сохранении некоторых топологических свойств введёнными здесь отношениями эквивалентности. 4. Приложения. Следующая теорема была доказана в статье [7] (Theorem 4.9) для гомеоморфизмов класса FSH(2) На самом деле она может быть, с минимальными 221 изменениями доказательства, обобщена на класс FSH(3), так как отображение носителя из пункта (г) предложения 1 сохраняет все необходимые свойства отображения носителя s : FS2(X) -> X. Итак, справедлива Теорема 1. Если пространства X иУ имеют счётный i-eec, и X ~з Y, то dimX = dimY. Следующая теорема является обобщением результата статьи [4] с класса линейных гомеоморфизмов на гомеоморфизмы класса FSH(5). Теорема 2. Если X ~5 Y, то 1{Х) = /(У). Для доказательства теоремы 2 нужно буквально следовать рассуждениям статьи [4], с несколькими отличиями, на которых мы только и остановимся ниже. Теорема 2 непосредственно следует из леммы 1. Лемма 1. Если h : CP(Y) -> СР(Х) - гомеоморфизм класса FSH(5), т - бесконечный кардинал, и 1{Х) < т, то и /(У) < т. Доказательство леммы 1, в свою очередь, удобно разложить на несколько дальнейших лемм. В условиях леммы 1 определено конечнозначное отображение ф : X -> Y, ф(х) = s(h*(x), где s : FSs(Y) -> Y -отображение носителя. Легко видеть, что ф полунепрерывно снизу. Лемма 2. Отображение ф сюръективно, то есть Y с U {ф(х) : х е X}. < Доказательство. Рассуждая от противного, легко проверить, что если у е Y, то у е и {ф(х) : х е (/z-1)*(}>)}, откуда и следует утверждение леммы. ► Для каждого открытого подмножества V с Y и каждой точки х е X зафиксируем функцию (fy e Cp(Y) тождественно равную 1 вне V и тождественно равную О на множестве ф(х) П V. Положим rv(x) = h*(x)(<pxv) = h(<pxv)(x), (2.3) а также G(V) = {х е X : rv(x) = 0} и F(V) = X \ G(V). Лемма 3. Пусть t(Y) - топология пространства Y. Определённое выше отображение G : t(Y) -> 2х - 0-экстрактор, то есть удовлетворяет условиям Sl, S2, S3 из статьи [4]. < Доказательство. Условия SI, S2, S3 проверяются непосредственно по определению отображения G с помощью предложения 1, (б). ► Следуя терминологии статьи [4], следующую лемму можно сформулировать так: Лемма 4. 0-экстрактор G синхронизирован с числом Линделёфа. < Доказательство этой леммы тождественно доказательству лемм 6, 7 из [4] с той лишь разницей, что неравенства, включающие величину гу{х) теперь выполняются не автоматически, а следуют из неравенств (2.1) и пункта (б) предложения 1. Разумеется, сама величина гу{х) задаётся формулой (2.3). ► 222 Наконец, для завершения доказательства леммы1теперь достаточно сослаться на Предложение 3 из [4].