RT - 
SR - Electronic
T1 - О ДИСКРЕТНЫХ ГРУППАХ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ
SP - 2023-03-27
A1 - Хакимова, З. Н.
YR - 2023
UL - https://rep.herzen.spb.ru/publication/368
AB - 1. Введение В данной работе рассматриваются 6 уравнений Пенлеве: Ухх = 6у2+х, (1) у';х = 2у3+ху + а, (2) ., = (Ух? Ух , 1 /„...2 , 0\ .....3 . б У XX + -(ay2+ß)+yy3 + -, (3) X \ I У у у х \ ) у У XX „ (Ух) 3 , л,.,(2 \_..ß 2у +-y3+W + 2(x2-a)y + y (4) „ Зу-1 , ,,2 Ух , Су-1)2 / ,ß\, У , öy(y+l) ... Ухх = 7Г-,-------ТЧ\Ух)--------+-------Ö----- \ау + -\+у- +----------т-, (5) 2у{у-\)у ' х х1 \ у) х у-\ Ухх=~[- +-----7 +------ 1У* - " +-----7 +------)Ух+ 2\у у-\ у-х Г \х х-1 у-х +у(у- 1)Су-*) х х-1 х (х - 1) a+ß- + у---------- + б---------т- У2 (J-1)2 (У-х)2 (6) х2(х - I)2 Решения уравнений Пенлеве принято называть трансцендентами Пенлеве - это специальные функции, найденные в результате научных исследований французского математика П. Пенлеве и его учеников [ 1 ]. Решения уравнений Пенлеве замечательны тем, что они не имеют подвижных особых критических точек. Уравнения Пенлеве принадлежат классу ОДУ 2-го порядка с полиномиальной правой частью: У;х = ^А^уНУх)т(хУх-уГ, (7) 1=1 212 а также более общему классу дробно-полиномиальных дифференциальных уравнений. ^а^уНуТ^хУх-уУ1 y'L = -f-------------------------• (8) Z а^уНу'х^КхУх-у)^ i=p+\ Будем обозначать эти классы уравнений соответственно: р р 2 (ki,li,mi,rii\Ai) ^ (hi, k, пц, nt\Ai), ~y----------------------. (9) i=l Z (ki,li,mi,rii\Ai) i=p+\ 2. Дискретные группы и псевдогруппы для уравнений Пенлеве Для класса уравнений (8) найдена дискретная группа диэдра Dß преобразований, замкнутых в (8) [2, 3]: Z)6 = {^h,h2,...,h5,r,hr,h2r,...,h5r}, (10) имеющая код г2 = h6 = (hr) = Е, где образующие г и h: г : х = и, у = t, 1 1 ( -1 \ 2 (hi, U,тиm\Ai) 2 [k, hi, -nit - щ + 3, щ\{-\)щ lAt i=l r i=\ \ I 2р 2р (И) 1 1 { -1 \ 2 {ки1итищ\А-) 2 Ui,ki,-mi-ni + 3,ni\{-\)ni 1АЛ -р+1 i=n+\ ^ ' 1 tUt - U h : х = -, у =------:----, ух = и, Щ щ £ {ки1игт,щ\Ад £ (л1-,т1-,-^-/1--3,/1-|(-1)/'-Ч) г=1 h i=p+l x ' £ (kulumuriAAi) I (nI-,mI-,-^-/I--3,/I-|(-l)/'-1AI-) (12) 2p Z i=p+\ (Легко видеть, что точечное преобразование г также замкнуто и в классе полиномиальных уравнений (7), а касательное преобразование h не замкнуто в (7)). 213 Таким образом, на всех уравнениях Пенлеве как представителях класса уравнений (8) действует группа Dß. В работах [4-6] исследованы 1-е (1) и 2-е (2) уравнения Пенлеве. Для 1-го уравнения Пенлеве группа Dß (10) расширена до псевдогруппы преобразований 120-го порядка. 2-е уравнение Пенлеве в общем случае, при произвольном параметре а, допускает псевдогруппу 36-го порядка. А в частном случае при а = 0 - 60-го порядка. Это расширение Dß до псевдогрупп указанных порядков было осуществлено за счёт преобразования Беклунда gi: gi X = Ukl+l. У = (щ) т, у'х = ki + l t + i=2 ki + l uki+l. ki l 0 О kt О О О gi 1 О -1 ki+l ki-k\+l 2/+1 2/+1 О о {к1+\у •Ai / (ki+i)(ki+i) (13) Для 3-го - 6-го уравнений Пенлеве (3)-(6) пока найдена только группа Dß 12-го порядка. Возможно ли её расширить аналогично 1-му и 2-му уравнениям Пенлеве -этот вопрос требует дальнейших исследований. 3. Расширения дискретных групп и псевдогрупп для уравнений Пенлеве с помощью точечного степенного преобразования В работе [7] было найдено точечное степенное преобразование ,а а : х = t , у = иг сохраняющее полиномиальный вид уравнений класса (7): (14) (ki,li,mi,rii\Ai) а a I {kt - wi[ + 2) а + гп[ - 2 (/, + wi[ + щ - 1) а - wi[ - щ + 1 т, щ ~1 -1 -1 11 aAt 1 - or Применение степенного преобразования существенно расширяет дискретные группы и псевдогруппы преобразований. Пример 1. Для 4-го уравнения Пенлеве (4) группа Dß 12-го порядка расширена до псевдогруппы 84-го порядка [7] с помощью степенного преобразования (14). Аналогично с помощью (14) можно многократно увеличить порядок псевдогрупп для 1-го и 2-го уравнений Пенлеве. 214 4. Получение новых разрешимых уравнений Метод «размножения» интегрируемых функций в исследуемых классах уравнений заключается в следующем: если одно уравнение, соответствующее некоторой вершине графа дискретной группы (псевдогруппы), является разрешимым, то и все остальные уравнения-вершины данного графа являются разрешимыми, причём, в тех же функциях, что и исходное уравнение. Например, для 4-го уравнения Пенлеве все уравнения, соответствующие вершинам графа 84-го порядка, имеют решения через 4-й трансцендент Пенлеве (см. пример 1). Причём в результате применения  -преобразования уравнения получают существенный произвольный параметр. Таким образом, графы построенных дискретных псевдогрупп для уравнений Пенлеве дают большое число новых интегрируемых уравнений дробно-полиномиального вида (8), причём решения их выражаются через трансценденты Пенлеве.