RT - 
SR - Electronic
T1 - ПРИМЕНЕНИЕ ПРЯМОГО АЛГОРИТМИЧЕСКОГО ПОИСКА РЕШЕНИЙ НА ОУЭФ
SP - 2023-03-27
A1 - Флегонтов, А. В.
A1 - Шагай, М. А.
YR - 2023
UL - https://rep.herzen.spb.ru/publication/367
AB - Введение Метод дифференциальных «пазлов» получил широкое развитие в работах В. Ф. Зайцева и Л. В. Линчук [1, 2], а также в других работах [3, 4]. В работе [4] был предложен алгоритмический прямой метод поиска решений, который позволяет найти подклассы изучаемого класса обыкновенных дифференциальных уравнений, решения которых могут быть выражены через конечный набор элементов, представимых в терминах заданных классов функций (полиномов, функции Вейерштрасса, и т. д.). В работе [4] также был предложен алгоритм для поиска новых уравнений и их решений, которые строятся из некоторого конечного набора полиномов, а также были получены новые решения некоторых обобщённых уравнений Эмдена - Фаулера. Напомним, что метод дифференциальных «пазлов» позволяет находить некоторые подклассы выбранного класса ОДУ ([2]). Общие решения подклассов могут быть представлены в терминах заданных классов функций (в классе полиномов, тригонометрических, эллиптических или некоторых специальных функций). Множество элементов «пазла» это сужение дифференциальной алгебры базисных функций на решениях дифференциального уравнения. В классической теории Ли уравнения разрешаются из инвариантов допускаемых групп или операторов. В рассматриваемом методе решения уравнений строятся из заданных базисных структурных элементов «пазла», которые инвариантны относительно дискретной группы эквивалентности на изучаемом классе уравнений. Такие базисные элементы, порождаемые парой функционально-независимых функций, известных как решения каких-либо дифференциальных уравнений, обра- 206 зуют структуру в виде дифференциального кольца алгебраических функций, замкнутых относительно операции дифференцирования [5]. Для частного класса нелинейных обыкновенных уравнений - обобщённо-однородного уравнения Эмдена - Фаулера: у" = Ахпут{у')1 общее решение, в силу однородности, представимо в виде х(т)=а-С«<р(т,С2), {у(т) = Ь-С^(т,С2). и следует из пропорциональности у" ~ хпут{у')1, иначе Ф<Д - <Д<£>~ (pni//m(<p)3~l(i//)1. Введём функцию х =(А /^ и преобразуем к виду Х~ (pnil/m{^)l~l{ilf)1. Тройка функций tp, if/, x определяет функции х, у, у'. Рассмотрим орбиту Вейерштрасса - семейство уравнений, решения которых представимы через конечную систему полиномов от трёх переменных: т, р(т), р'{т). Отметим, что несмотря на зависимость р от т и р' от р в процессе изучения решений уравнений орбиты Вейерштрасса, а также при разработке идей алгоритмизации (на основе алгоритма поиска решений орбиты полиномов) будем рассматривать элементы «пазла» именно как полином от трёх переменных. Функция р{т) определяется уравнением р" = ±6р2, а также р(т) и р'{т) связаны соотношением р'2 = ±(4р3 -1), и при верхнем знаке в формулах р(т) совпадает с эллиптической функцией Вейерштрасса с полюсами второго порядка р = р(т, g2, #з)- Инвариантами функции Вейерштрасса g2, g3 могут быть любые комплексные числа, для которых выполняется соотношение g^ ~~ ^lg2 Ф 0. В нашем случае g2 = 0, #з = 1 • Как хорошо известно, в окрестности точки т = 0 существует разложение функции р(т) в виде 2к р(т) = - + 2j с^1 к=\ Функция Вейерштрасса с двумя инвариантами в общем виде удовлетворяет и дифференциальным уравнениям старших порядков, а именно р"{т) = ±6р(т)2 - l-g2, р'"{т) = ±\2р{т)р'{т), р<4>(т) = ±П0р3(т) - lSg2p(r) - 12g3, а при п = 2, 3,. . . и уравнениям р^2п+1\т) = ±р'(т)Рп[р(т)], где Рп - полиномы степени п относительно р{т) с коэффициентами, зависящими от g2 и g3. В таблице представлены все известные на данный момент элементы «пазла» орбиты Вейерштрасса. 207 Элементы «пазла» Производные элементов Е1=т Е\ = \, Е2 = р(т) Щ = ЕЪ, Еъ = Р'(т) Щ = ±6Е2, Е4 = т2р(т) + 1 Е'А = ЕХЕЪ Е5 = р'(т)±2тр2(т) E's = ±4Е2Е7, Е6 = тр'(т) - р(т) Е'6 = ±вЕ1Е2, Е7 = тр'(т) + 2р(т) Е'п = ЗЕ5, Е$ = т*р'(т) + 3т2р(т)т1 E^ = 6Ei(E7+E2E4), Е9 = т3р'(т)-4т2р(т)±6 Е'9 = Е1(6Е2Е4-Е1), Замечание. Согласно теореме униформизации [6], любая эллиптическая алгебраическая кривая допускает универсальную параметризацию в поле алгебраических функций С(р, р'). Поэтому с ^-функцией Вейерштрасса связана обратная к ней функция - нормальный эллиптический интеграл Вейерштрасса 1-го рода. Решения всех уравнений орбиты Вейерштрасса могут быть также представлены и через неполный эллиптический интеграл 1-го рода в форме Вейерштрасса 1\, где в 1\= т = У* , dz + Ci, производная l'x = R~l, а именно: Элементы «пазла» Производные элементов h = Р(т) = в /;. = я, h = Р'(т) = R = V±(4z3 - 1) I'3 = R' = ±6d2R~\ и = ei2 + \ IA = hh, h = ±2e2h + в /; = ±4/2/7, h = Rh-6 I'6 = ±6h%, h = Rh + 2в /7 = З/5, h = (Rh + Ъв)12 + 1 ^ = 6/i(/7+ /2/4), Ig = (Шг - 4в)12 ± 6 /^ = /1(6/2/4-/7), Выявление закономерностей рассматриваемых орбит Для уравнений типа Эмдена - Фаулера, решениями которых являются полиномы, в работе [4] было установлено, что между полиномами, входящими во все известные решения, существует хотя бы три соотношения, связывающие полиномы и их первые производные, а также, было установлено, что все уравнения орбиты полиномов (в работах [7, 8, 9]) можно разбить на группы уравнений, решения которых выражаются через тройки полиномов, связанные тремя соотношениями. Проведя аналогичные рассуждения, получили, что данное утверждение верно для орбиты Вейерштрасса и орбиты эллиптических интегралов. А также было установлено, что из некоторых троек элементов «пазла» может быть построено 4 или 208 6 решений, одно из которых соответствует уравнению класса у" = Ахпут(у') , а остальные 3 или 5 могут быть получены из соображения симметрии. Для этих троек элементов должно выполняться три соотношения, которые выражают зависимость элементов друг от друга. Проанализировав все уравнения орбиты Вейерштрасса из справочников [7, 8, 9], удалось получить три соотношения для каждой группы уравнений, которые были представлены в работе [10]. Например, для элементов (Е\, Е$, Eg) соотношения; Е* - 1, Е\Е, - 6Е4 - Eg, EiE'9 + E9 = ±6EJ. Каждая тройка представляет собой набор трёх таких элементов, связанных тремя соотношениями, замкнутыми на этих элементах, но существенным является то, что каждая такая тройка не является базисом, то есть, рассмотрев все тройки можно сделать вывод, что базисными являются элементы Е\ и Ei, а остальные элементы приводимы по сложению, умножению и дифференцированию. Примеры работы модифицированного алгоритма были представлены в работах [4, 10]. Основная идея заключается в сопоставлении некоторой тройки элементов «пазла» функциям ф, \f/, х, где тройка элементов связана тремя соотношениями. Алгоритм является самодостаточным в плане размножения решений и не требует использования дискретно-групповых преобразований для этого. Этим методом решения получаются за счёт перестановки функций <р, \f/ и х- Также при использовании алгоритма учитываются сингулярные точки при поиске уравнений. Все известные на данный момент уравнения, решения которых выражаются в терминах «пазла» орбиты Вейерштрасса, удалось получить при помощи описанного алгоритма. Получили, что все известные элементы орбиты Вейерштрасса разбиваются на группы по 4 или по 6 уравнений, решения которых представлены тройкой элементов, связанной тремя соотношениями, как и для орбиты полиномов. Замечание: При рассмотрении орбиты эллиптических интегралов была получена замкнутость производных на множестве, порождённом решениями, состоящими из элементов «пазла». Элементы «пазла» Производные элементов т = i T-jf V = tR-\ R = V±(4r2 - 1) R' = ±4tR-\ Fi = 2т/(т) + C2t + R F\ = 21 + l^R-1 - 4t/?"1 + C2, F2 = t-\RF1-\) F^ = ±4R~1F1+2r, F3 = AtF'I + F\ F'3 = \2Ff± AtF2 + 8 + 8F1/?"1 (2r3 - 4т - F2). 209 Идеи алгоритма поиска новых уравнений орбиты Вейерштрасса В работе [10] рассмотрен метод «разбиения» на случаи, а именно: для общей структуры элементов пазла: Е\ =т, Е2 = ткр(т) + /, (2) E3=Tsp'(T) + CTrph(T) + d, где к, f, s, с, г, h, d - целые числа, а упорядоченный набор этих чисел называется определяющим набором уравнения, было получено, что в зависимости от максимальной степени т и определяющего набора все варианты данного строения орбиты оказываются покрыты пятью случаями комбинации значений элементов определяющего набора. Заключение Таким образом, для орбиты Вейерштрасса и орбиты эллиптических интегралов выполняются утверждения, применимые для орбиты полиномов: если известно решение некоторого уравнения, то можно получить 3 соотношения на элементы, из которых строится это решение, и из этих соотношений получить ещё 5 уравнений или 3, в случае сингулярных точек. То есть сама идея «размножения» одного уравнения выполняется для данной орбиты так же, как и для орбиты полиномов. Все известные уравнения были разбиты на группы по 4 или 6 уравнений, для элементов решения которых выполнено 3 соотношения. Для создания алгоритма был рассмотрен общий вид базовых элементов (2) и, исходя из соображения эквивалентности функций <р, \f/ и х и их производных произведению данных элементов в некоторых степенях, было предложено «разбиение» на случаи в зависимости от значений «определяющего набора».