%0 
%A Линчук, Л. В.
%T ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ ОБОБЩЁННЫЕ СИММЕТРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА
%D 2023
%X Развитие современного группового анализа идёт по нескольким направлениям. Одним из них является поиск альтернативных подходов к записи симметрии, которыми обладают дифференциальные уравнения. Классических методов оказалось недостаточно для объяснения интегрируемости некоторых задач. В результате появились новые классы операторов: экспоненциальные нелокальные операторы [1], формальные операторы [2], альтернативные обобщённые операторы [3]. Известно, что альтернативные обобщённые операторы наиболее эффективны для обыкновенных дифференциальных уравнений выше 2-го порядка, так как только в этих случаях можно расщепить определяющее уравнение для поиска координат оператора. Для уравнений 2-го порядка y" = f(x,y,y') (1) невозможность решить определяющее уравнение в общем виде приводит к необходимости накладывать дополнительные условия на структуру самого оператора и класс дифференциальных уравнений, для которых решается либо прямая, либо обратная задача группового анализа. Но тем не менее в ряде случаев удаётся получить нетривиальные разрешимые классы уравнений [4]. Одним из наиболее простых и естественных анзацов является предположение о степенной зависимости координат оператора и (или) правой части уравнения (1) от одной или нескольких переменных х, у, У. Рассмотрим класс обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка y" = F{x,y){y')n (2) и альтернативные обобщённые операторы вида X = fdx + Tidy + €id? + €2dy», (3) 192 где £ = £(*,)>,/), J] = J](x,y,yr), £\ = £\(x,y,y') и , п,гл ,/г> ,. , (fr -/'Ш1 - Ас»7 +/Acfl i-y% Заметим, что класс уравнений (2) содержит в себе практически значимый класс уравнений Эмдена - Фаулера и его обобщения [5]. Относительно координат оператора (3) также будем предполагать, что они имеют структуру, аналогичную правой части уравнения (2) f = g(x,yW)m, 1 = h{x,y){y')k, ^ = s{x,y){y')1. Альтернативный обобщённый оператор (3) не меняет множество своих инвариантов при домножении его на произвольное выражение /л(х,у, у') Ф 0 [3]. В результате этого свойства мы можем убрать излишний произвол в координатах оператора, положив в данном случае six, у) = 1, / = 0 (если предположить, что £(х,у,у') Ф 0). Тогда определяющее уравнение, связывающее правую часть уравнения (2) и координаты уравнения (3), имеет вид (т - k)ghF2(y')2n+k+m-1 - g2Fx(y')n+2m+1+ + (F(hgy - ghy) - ghFy) (y>y+k+m+1 + (F(hgx - ghx) + ghFx) (y>y+k+m+ + h2Fy(y')n+2k + (k + n)hF{y')n+k~l -(m + n- \)gF{y')n+m- - gy{y')m+2 ~ gx{y'T+l + hy{y')k+l + hx{y')k -1=0. (4) Нетривиальные решения этого уравнения возникают, только если совпадают степени производной у' двух и более слагаемых в уравнении (4). Это зависит от конкретных соотношений между п, т и к. Подобные задачи перебора удобно реализовывать с помощью пакетов символьных вычислений (Maple, Mathematica и т.д.), так как число возможных вариантов достаточно велико. Заметим, что для уравнения (4) было найдено около 300 различных случаев, приводящих к определяющим системам. Конечно, большая часть из них либо несовместны, либо имеет тривиальные решения (получается уравнение (2), имеющее очевидный путь интегрирования или альтернативный обобщённый оператор трансформируется в точечный). Рассмотрим некоторые нетривиальные ситуации. 1. т = -^, к = -\, п = 1. В этом случае уравнение (2) принимает вид /' = F(x, y)y', а определяющее уравнение (4) сводится к уравнению, содержащему только 5 слагаемых 2gy(y')3 + 2(1 - hy)(y'f2 + {2hgFy - 2hgyF + 2ghyF - 3gF + 2gx)(y')2+ + 2(Fxg2 - h2Fy - hx){y')312 + (ghF2 - 2hgFx - 2hgxF + 2ghxF)y' = 0. 193 Одним из его решений будет F= f'{f( л+/2(х), g = 0, h(x,y) = y + Mx), У + Мх) f\ = f\{x), fi = fz(x) ~ произвольные функции. Таким образом, мы получаем уравнение y"=(^77T + /2w)/, (5) \y + fi(x) ) допускающее альтернативный обобщённый (неточечный) оператор Х=(у + Мх))ду + у'ду. (6) Инварианты оператора (6) позволяют записать уравнение (5) в виде факторсистемы / У + Мх) и' = u(f2(x) - и). Внешнее уравнение этой факторсистемы легко решается, а уравнение (5) сводится к линейному уравнению , Jf^dx(y + Mx)) У = --------г----------------------------feJMx)dxdx + C1 с общим решением У (, /lWe//*»-- ,.AijefM^dx+c; dx + С2 { (f^Mx)dxdx + Ci) у Заметим, что при произвольных f\ и fz уравнение (5) не обладает точечными симмет-риями. Пакет символьных вычислений Maple при заданных f\ и fz это уравнение решает лишь в некоторых случаях (например, при f\ = х2, /2 = ех решение не находится). 2. т = -|,£ = -1,л = |. Тогда уравнение (2) принимает вид y" = F{x,y){y')3l\ а определяющее уравнение (4) содержит только 4 слагаемых 2gy(y')2 + 2(hgFy + ghyF - hgyF -gF-hy + l)(/)3/2+ + (hgF2 - 2h2Fy + 2g2Fx -hF + 2gx)y'+ + (-2hgxF - 2hgFx + 2ghxF - 2hx){y')112 = 0. 194 Из этого уравнения, после расщепления по степеням производной у', следует один из вариантов Н'(у) + 1 R Н(у) F =-------=----, g = VW» h = 777ГТ' V* н (у) где Н(у) удовлетворяет условию in я Су) + я Су) + j + Ci V#M + с2 = о, С\, Ü2 - произвольные константы. Следовательно, уравнение У „ Н'(у) + 1 з/2 л/х (7) допускает альтернативный обобщённый (неточечный) оператор х = МуГ312 дх + f^(/)_1 ду + дУ- (8) Уравнение (7) записывается через инварианты оператора (8) в виде факторсистемы t = У Н(у) и = л^ + 1 V7 1 и 2t2u + Cit3/2' Последнее уравнение интегрируется, и мы получаем первый интеграл уравнения (7) (из-за громоздкости мы его не приводим). В любом случае мы упростили процесс интегрирования уравнения (7), сведя его к обыкновенному дифференциальному уравнению 1-го порядка. 3. т = -2, к = -\,п = 3. Тогда решение определяющего уравнения (4) даёт нам пару, состоящую из обыкновенного дифференциального уравнения у" = ((Ш - Му)2)х + f2(y)) (у')3 и допускаемого оператора х = дх + Му)(у')2ду, Уравнение (9) можно записать через инварианты оператора (10) в виде и=хМу) + (уГ\ и = f\{y)u-fi{y). (9) (10) 195 Внешнее линейное уравнение легко решается, и после возвращения к исходным переменным мы понижаем порядок уравнения (9) хМу) + (УГ1 = (ci - J f2(y)e-fMy)dy dy\ Qff^dy. Следовательно, общим решнием уравнения (9) будет х= (e2//l(>Wci- Г f2(y)e-fMy)dydy\ + C2)e-fMy)dy. Заметим, что класс уравнений (9) невозможно получить классическими методами, хотя некоторые частные случаи этого класса допускают точечные операторы. Таким образом, обобщённые нелокальные операторы позволяют сконструировать классы интегрируемых или упрощаемых уравнений, которые не могут быть получены классическим подходом. Очень часто функциональный произвол, имеющийся в уравнении, является следствием наличия неклассических симметрии. И хотя решение подобных задач требует рассмотрения различного рода анзацев, даже простейшие предположения относительно структуры функций, входящих в задачу (например, их полиномиальная структура), способны привести к нетривиальным решениям. Заметим, что рассматриваемую структуру обыкновенного дифференциального уравнения и координат оператора можно усложнить, добавив слагаемые, зависящие от других степеней производных.
%U https://rep.herzen.spb.ru/publication/364