17 Латонова Л. И. 2023 2023-03-27 Рассмотрим начально-краевую задачу ft = fzz-K(t) + 2g-sT, (1) 8t = 8zz, Tt = \?zz, kl<l, te[0,t0], (2) где f(z, t),g(z, t), T(z, t), K{t) суть неизвестные функции; s > О, Р > 0 - физические параметры, характеризующие жидкую среду. Система (1), (2) дополняется начальными f(z,0) = fo(z), g(z,0) = go(z), T(z,0)=T0(z), \z\<l (3) и граничными условиями /(±1,0 = 0, g(±l,t) = 0, T(±l,t) = Th2(t), te[0,t0]. (4) Функции T\ 2{t) являются заданными температурами на твёрдых стенках [1]. Кроме того, выполнено интегральное равенство 1 Jf(z,t)dz = 0. (5) -1 Задача (1)-(5) является обратной относительно функции K(t). Для гладких решений должны быть выполнены условия согласования 1 /о(±1) = 0, g0(±l) = 0, 7b(±l) = 7i,2(0), J fo(z)dz = 0. (6) -i 189 Задача (1)-(5) имеет стационарное решение f(z) = ^(T°-T()(zi-z), К° = -\{Г1+Ц), gs(z) = 0, (7) с заданными постоянными Т^2. Задачи для g(z, t),T(z,t) являются классическими с условиями на границах z = ±1 первого рода. Их решения находятся в виде рядов Фурье [2], откуда следуют оценки (dj > 0 - постоянные) At (\g(z,t)\,\gt(z,t)\)<die-M, Ä = nz/4 \T{z,t)\ < ^max e~xt,v + max( max \Tj(t)\, max \T'(t)\) j t€[0,t0] t€[0,t0] (8) (9) Производная Tt(z,t) также удовлетворяет неравенству (9), где надо заменить Tj(t) наг;(?). Пусть A(z, i) = 2g(z, t)-sT{z, t), тогда с помощью неравенств (8) и (9) получим равномерные при всех z е [-1,1] оценки \A(z, t)\ и \At(z, t)\. Далее, для начально-краевой задачи имеют место два тождества ]_д_ 2~dt f2dz+ / fidz= / Afdz, i ii Jftdz + \jtJ'f?dz = J' Aftdz. -l -l -l Используя эти тождества, неравенства Стеклова и Гёльдера, после некоторых выкладок приходим к оценке l/(z,0l<V2 1/2 fUz\ + (10) Производная ft(z, t) удовлетворяет неравенству (10) с заменой /о на fto = P~Vozz + 2go(z) - sTq(z), А на At. Доказывается, что неизвестная функция K(t) имеет представление K{t) = 4 (1-^A(z,t)-Mz,t)]dz, (И) 190 откуда можно оценить \K(t)\ и показать, что \fzz\ < оо для всех z е [-1,1], t e [О, to]. Другими словами, если решение обратной задачи существует, то оно является классическим. Предположим, что функции Tj(t) определены при всех t > О и \Tj(t) - Ts.\ < die~Jt с некоторой постоянной у > 0. Тогда \A{z,t)-As{z)\ < d3e~^, \Mz,t)\ < d4e~^, где yi = min(y, л2/4, л2/4P). Далее \f(z,t) - f(z)\ < d5e~^, \K(t) - Ks\ < d6e~^ с 72 > 0, уз > 0, зависящими от Л, у\. Другими словами, при указанных выше условиях на поведение Tj (t) и некоторых естественных ограничениях на начальные данные (3), решение стремится к стационарному решению (7) при t -> оо. Работа поддержана Красноярским математическим центром, финансируемым Минобрнауки РФ в рамках мероприятий по созданию и развитию региональных НОМЦ (Соглашение 075-02-2020-1631). https://rep.herzen.spb.ru/publication/363 https://rep.herzen.spb.ru/files/383